Probabilitas

Haiiii Gaissss... !!!

Kembali dengan saya si cewek iseng yang akan berbagi ilmu Probabilitas.

Sejarahnya seperti apa dan apakah itu .... mari disimak ya gaissss

Pengetahuan mengenai peluang (probability) ini diawali oleh adanya pertanyaan seorang bangsawan Perancis yang juga penjudi bernama Chevalier de Mere kepada Pascal (1623-1662). Penjudi tersebut ingin mengetahui bagaimana pola pembagian uang taruhan pada suatu perjudian apabila permainannya terpaksa dihentikan sebelum selesai.

Teori peluang yaitu menjadi salah satu alat utama dari statistika dan teori peluang berkait erat, sehingga sulit kalau membicarakan statistic tanpa memahami arti peluang.

Istilah probabilitas atau probability sebenarnya sudah sering kita gunakan karena dapat diartikan sebagai kemungkinan, kebolehjadian, ataupun kebarangkalian. Dalam kehidupan sehari-hari kita menggunakan istilah tersebut secara sederhana, misalnya kita mengatakan bahwa hari ini kemungkinan besar hujan, atau tidak mungkin dia bisa lulus ujian sarjana tahun ini, dan masih banyak lagi.

Dalam mempelajari probabilitas, ada 3 kata kunci yang harus diketahui yaitu :

Eksperimen : observasi suatu object atau kegiatan untuk memperoleh ukuran.

Outcome : suatu hasil khusus dari eksperimen.

Kejadian : simpulan dari satu atau lebih dari sebuh eksperimen.

Probabilitas biasanya dinyatakan dengan bilangan desimal atau pecahan, nilanya berkisar atara 0 dan 1. Semakin dekat probabilitas ke nilai 0, semakin kecil kemungkinan suatu kejadian akan terjadi. Sebaliknya, semakin dekat nilai probabilitas ke nilai 1, kenungkinan besar peluang suatu kejadian akan terjadi.

Pendekatan perhitungan probabilitas ada 2 yaitu yang bersifat objective dan subjecktif.

Probabilitas objectif dibagi menjadi 2 yaitu klasik dan Frekuensi relatif.

Pendekatan Klasik didasarkan pada asumsi bahwa dari suatu eksperimen memunyai kemungkinan (peluang /probabilitas) yang sama.

Contoh :

Kepala pabrik mengatakan bahwa dari 100 barang produksinya, ada 25 yang rusak. Kalau barang dibungkus rapi, kemungkinan seorang pembeli mengambil satu barang secara acak, berapakah probabilitasnya bahwa barang tersebut rusak ?

Penyelesaian :

Dari soal, n = 100 dan x = 25. Dengan demikin,

P(A)       = x/n

= 25/100

= 0,25 atau 25 %

Jadi besarya probabilitas (kemungkinan) untuk memperoleh barang rusak adalah 25 %

Frekuensi relatif menggunakan limit dari frekuensi reltif yang diperoleh dari percobaan.

fr = frekuensi relatif

Xi = kejadian i

   P (X_i) = Lim  f_i/n

                 _{n →∞}

Contoh :

Sebuah studi dilakukan terhadap 750 lulusan sekolah administrasi bisnis dari suatu universitas (dalam hal ini, studi tersebut dapat dikatakan sebagai esperiman). Studi ini menunjukkan bahwa 300 dari 750 lulusan tidak bekerja sesuai dengan bidang studi utama yang diambil di universitas tersebut. Misal, seorang mahasiswa akutansi akuntasi bekerja sebagai manager pemasaran. Berapa probabilitasnya bahwa seorang lulusan administrasi bisnis akan bekerja di bidang yang bukan studi utamanya ?

Jawab :

Probabilitas terjadinya suatu kejadiaan = Jml terjadinya tersebut dimasa lalu/ jml observasi

Berdasarkan rumus diatas, maka dapat dihitung probabilitas suatu kejadian :

P (A)      = 300/750

= 0,4

Pendekatan Subjektif  didasarkan atas penilaian seseorang dalam menyatakan tingkat kepercayaan dan tidak banyak menggunakan infrmasi sebagai dasar pertimbangan.

Contoh :

1.      Menurut Presiden Saddam Husen Iral pastiakan menang melawan Amerika

2.      Anda akan mendapatkan nilai minimal B untuk mata kuliah Statistik 1

3.      Menurut Menteri keuangan Indonesia periode 2014-2019, Indonesia tidak akan pernah krisis karena pondasi ekonomi kuat.

Kejadian/Peristiwa dan Notasi Himpunan

Apabila suatu eksperimen dilakukan dengan melemparkan mata uang logam Rp. 50 sebanyak dua kali, maka hasil eksperimen itu adalah salah satu dari empat kemunginan hasil berikut :

Notasi Himpunan

Apabila S merupakan himpunan, maka objek yag terkandung di dalamnya dinamakan anggotaatau elemen. Misalnya S {x_1, x_2, x_3, x_4, x₅} maka x_1, x_2, x_3, x₄ dan x₅ masing-masing merupakan anggota / elemen dari S.

Komplemen suatu kejadian

Misalkan bahwa S adalah ruag sample (himpunan dari hasil eksperimen), A adalah himpunan bagian dari S, dan A bar adalah komplemen dari A atau semua anggota S yang bukan anggota A.

Interaksi Dua Kejadian

Interseksi dua kejadian, misalnya A dan B, yang sering ditulis A  B (dibaca A interaksi B) atau AB, terdiri dari elemen – elemen anggota S yang selain empunyai sifat atau ciri-ciri A juga B, artinya selain anggota A juga anggota B.

Beberapa aturan / hukum dalam himpunan

1.                       Hukum penutup (law of closure)

2.                       Hukum komutatif (commutative Law)

3.                       Hukum Asosiatif (Associative Law)

4.                       Hukum Distributif (distributive law)

5.                       Hukum identitas (identity law)

6.                       Hukum komplementasi (complementation law)

Beberapa aturan dasar probabilitas terbagi 2 aturan yaitu aturan penjumlahan dan aturan perkalian.

Aturan penjumlahan harus dilihat jenis kejadiannya apakah bersifat saling meniadakan atau tidak saling meniadakan.

Kejadian saling meniadakan yaitu apabila suatu peristiwa terjadi, maka peristiwa lain tidak dapat terjadi pada saat bersamaan. Jika kejadiaan A dan B saling lepas maka probabilitas terjadi peristiwa tersebut :

P (A atau B) = P(A) + P(B)

P (A u B) = P(A) + P(B)

Contoh :

Bila sebuah dadu dilemparkan, tentukan probabilitas :

A peristiwa mata dadu 4 muncul

B peristiwa mata dadu lebih kecil dari 3 muncul

Jawab :

P(A) = 1/6          P(B) = 2/6

Jadi P (A atau B) = P(A) + P(B) =

1/6 + 2/6 = 3/6 = ½

Kejadian tidak saling meniadakan yaitu dua peristiwa atau lebih dapat terjadi bersama-sama (tetapi tidak selalu bersama).
P (A atau B) = P(A) + P(B) – P (A dan B)
P (A u B) = P(A) + P(B) – P (A n B)
Contoh :

Dalam sebuah unit rumah sakit terdapat 8 orangperawat dan 5 orang ahli terapi. Terdiri dari 7 perawat wanita dan 1 perawat pria, sedangkan untuk ahli terapi terdiri dari 3 wanita dan 2 pria. Jika seseorang staff perawat dipanggil, berapa kemungkinan yang dating adalah pria ?

P (perawat pria ) = P (perawat) + P (Pria) – P (Perawat dan Pria)

P (perawat pria) = 8/3 + 3/13 – 1/13 = 10/13

Aturan Perkalian dibedakan menjadi 3 yaitu keadilan bebas, kejadian bersyarat dan kejadian gabungan.

Kejadian Bebas (Independent Event) yaitu terjadianya suatu kejadian atau peristiwa tidak mempengaruhi probabilitas terjadinya peristiwa lain. Kejadian saing lepas dinyatakan sebagai berikut :

P (A u B) = P(A dan B) = P(A) . P(B)

Contoh :

Sebuah mata uang logam dan sebuah dadu di lemparkan satu kali secara bersama. Tentukan probabilitas munculnya sis muka pada uang logam dan mata 4 pada dadu.

Jawab :

A = munculnya sisi muka pada uang logam

B = mata 4 pada dadu

P(A) = ½            P(B)= 1/6

P (AB) = P(A). P(B) = ½ . 1/6 = 1/12

Kejadian bersyarat (Dependent Event) yaitu terjadinya suatu peristiwa dengan syarat peristiwa lain harus (telah) terjadi dan peristiwa – peristiwa tersebut saling mempengaruhi.

P (A/B) = P (A n B) / P(B), P(B) > 0

Contoh :

Sebuah kota berisikan 11 bola dengan rincian :

·  5 buah bola putih bertandakan +

·  1 buah bola putih bertandakan -

·  3 buah bola kuning bertandakan +

·  2 buah bola kuning bertandakan –

Bila diambil sebuah bola kuning dari kotak :

·  Berapa probabilitas bola itu bertanda +

·  Berapa Probabilitas bola itu bertanda –

Misal

B = bila Kuning

A⁺ = bola bertanda +

A^- = bola bertanda –

P (B) = 5/11, P (A⁺ B) = 3/11

P(A⁺/ B) = P A⁺ n B) / P(B) = 3/11 / 5/11 = 3/5

P(A^-/ B) = P A^- n B) / P(B) = 2/11 / 5/11 = 2/5

Kejadian gabungan yaitu suatu peristiwa – peristiwa yang saling mempengaruhi.

P (A n B n C) = P (A/B n C). P (B/C) . P(C)

P (A n B) = P (A/B) . P(B)

Contoh :

Dari satu set kartu bridge, diambil 3 kartu setiap mengambil kartu yang dipilih tidak dikembalikan lagi. Tentukan probabilitas untuk tiga kartu AS.

Jawab :

S = kumpulan semua kartu n(S) = 52

A = terpilih kartu AS pada pengambilan pertama

B/A = terpilih kartu AS pad pengambilan kedua dengan syarat pada pengambilan pertama terpilih kartu AS

C/ACB = terpilihnya kartu AS pada pngambilan ketiga dengan syarat pertama dan kedua terpilih kartu A.

Pengambilan pertama kartu as lengkap. n(A) = 4 n(S) = 52 P(A) = 4/52 =1/13

Pengambilan ke dua, kartu as tinggal 3 maka. n(B/A) = 3 n(S) = 51 P(A) = 3/51 =1/17

Pengambilan ke tiga, kartu as tinggal 2 maka. n(C/ACB) = 2 n(S) = 50, Jadi

P(C/A n B) = 2/50 = 1/25

P (A n B n C) = P (C / A n B). P (A / B). P (A) =2/50.3/51.4/52 = 1/25.1/17.1/13 = 1/5.525

Sekian ya Gaissss, semoga bermanfaat.