Distribusi Probabilitas

Selamat datang para pembaca blog setiaaaa....

Melanjutkan materi sebelumnya yang berhubungan statistik 1, kali ini saya akan membahas sedikit tentang Distribusi Probabilitas.

Apa itu yukkk simak ya gaisss....

Distribusi Probabilitas adalah suatu distribusi yang mengambarkan peluang dari sekumpulan variat sebagai pengganti frekuensinya. Fungsi distribusi peluang/Probabilitas pada umumnya dibedakan atas distribusi peluang diskrit dan distribusi peluang kontinu.

Variabel random diskrit merupakan suatu variabel random yang hanya dapat memiliki harga-harga yang berbeda yang berhingga banyaknya (sama banyaknya dengan bilangan bulat). Variabel random kontinu merupakan suatu variabel random yang dapat memiliki harga dalam suatu interval (tak berhingga banyaknya).

Contoh :

Distribusi probabilitas diskrit

Variabel diskrit

Variabel diskrit merupakan variable yang nilainya dapat diperoleh dengan cara membilang ataupun menghitung.

Variabel diskrit X menentukan distribusi peluang apabila untuk nilai X= x1,x2,x3,…..,xn terdapat peluang p(xi) = P(X=xi) ditulis.

Contoh

Ekspektasi sebuah variable acak ditentukan oleh beberapa criteria, yaitu kita dapat menentukan sebuah variable acak jika ada ekspektasinya. Rumus untuk mencari ekspektasi atau nilai harap dari variable acak adalah sebagai berikut ;

Contoh.

Dua Variabel Random

Ada dua variabel random yang diamati bersamaan dalam suatu eksperimen.

Contoh: 

Peluang dan Variabel Random

Contoh  

                PP atau 2P maka P3 = 0,25

Distribusi Bernoulli

Eksperimen Eksperimen Bernoulli dengan hanya dua hasil yang mungkin Contoh

 melempar mata uang logam satu kali

Mengamati telur ayam, apakah anak ayam itu jantan atau betina

Mengamati kedelai yang ditanam, tumbuh atau tidak

Reaksi obat pada tikus, positif atau negatif

Sifat-sifat Eksperimen Bernoulli

·         tiap usaha (trial) menghasilkan satu dari dua hasil yang mungkin, dinamakan sukses (S) dan gagal (G);

·         peluang sukses, P(S) = p dan peluang gagal P(G) = 1 − p, atau P(G) = q;

·         usaha-usaha tersebut independen

Distribusi Binomial

Merupakan suatu distribusi probabilitas teoritis yang menggunakan variabel random diskrit yang terdiri dari dua kejadian yang berkomplemen, seperti sukses-gagal, ya-tidak, baik-cacat, kepala-ekor dll.

Ciri-ciri distribusi Binomial adalah sbb :

1.    Setiap percobaan hanya memiliki dua peristiwa, seperti ya-tidak, sukses-gagal.

2.    Probabilitas suatu peristiwa adalah tetap, tidak berubah untuk setiap percobaan.

3.    Percobaannya bersifat independen, artinya peristiwa dari suatu percobaan tidak mempengaruhi atau dipengaruhi peristiwa dalam percobaan lainnya.

4.    Jumlah atau banyaknya percobaan yang merupakan komponen percobaan binomial harus tertentu.

Rumus Distribusi Binomial

Contoh (Distribusi Binomial)

Probabilitas binomial kumulatif 

Probabilitas binomial kumulatif adalah probabilitas dari peristiwa binomial lebih dari satu sukses. Probabilitas binomial kumulatif dapat dihitung dengan menggunakan rumus :

Contoh :

Distribusi Poisson

Distribusi Poisson adalah distribusi nilai-nilai bagi suatu variabel random X (X diskrit), yaitu banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu interval waktu tertentu atau disuatu daerah tertentu.

Ciri-ciri ditribusi Poisson

Percobaan Poisson memiliki ciri-ciri berikut bahwa hasil percobaan pada suatu selang waktu dan tempat tidak tergantung dari hasil percobaan di selang waktu dan tempat yang lain yang terpisah, Peluang terjadinya suatu hasil percobaan sebanding dengan panjang selang waktu dan luas tempat percobaan terjadi. Hal ini berlaku hanya untuk selang waktu yang singkat dan luas daerah yang sempit Peluang bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi pada satu selang waktu dan luasan tempat yang sama diabaikan.

Penggunaan Distribusi Poisson yaitu dalam hal :

a)    menghitung Probabilitas terjadinya peristiwa menurut satuan waktu, ruang atau isi, luas, panjang tertentu, seperti:  

–     Menghitung probabilitas dari kemungkinan kesalahan pemasukan data atau kemungkinan cek ditolak oleh bank.  

–     Jumlah pelanggan yang harus antri pada pelayanan rumah sakit, restaurant cepat saji atau antrian yang panjang bila ke ancol.

–     Banyaknya bintang dalam suatu area acak di ruangangkasa atau banyaknya bakteri dalam 1 tetes atau 1 liter air.

–     Jumlah salah cetak dalam suatu halaman ketik. Banyaknya penggunaan telepon per menit atau banyaknya mobil yang lewat selama 5 menit di suatu ruas jalan.  

–     Distribusi bakteri di permukaan beberapa rumput liar di ladang. Semua contoh ini merupakan beberapa hal yang menggambarkan tentang suatu distribusi Poisson.

b)    Menghitung distribusi binomial apabila nilai n besar (n ≥ 30) dan p kecil (p<0,1). Jika kita menghitung sejumlah benda acak dalam suatu daerah tertentu T, maka proses penghitungan ini dilakukan sebagai berikut : ü jumlah rata-rata benda di daerah S T adalah sebanding terhadap ukuran S, yaitu ECount(S)= λ S. Di sini melambangkan ukuran S, yaitu panjang, luas, volume, dan lain lain. Parameter λ > <0,1). Jika kita menghitung sejumlah benda acak dalam suatu daerah tertentu T, maka proses penghitungan ini dilakukan sebagai berikut :

–     jumlah rata-rata benda di daerah S T adalah sebanding terhadap ukuran S, yaituü ECount(S)= λ S. Di sini melambangkan ukuran S, yaitu panjang, luas, volume, dan lain lain. Parameter λ > 0 menggambarkankan intensitas proses.

–     menghitung di daerah terpisah adalah bebas.

–     kesempatan untuk mengamati lebih dari satu benda di dalam suatu daerah kecil adalah sangat kecil.

Rumus Distribusi Poisson

Contoh :

Distribusi Multinomial

merupakan perluasan dari distribusi binomial.

Percobaan multinomial terjadi bila tiap usaha dapat memberikan lebih dari dua hasil yang mungkin.

Contoh

Banyaknya titik sampel pada pelemparan dua buah dadu adalah 36 titik sampel.

Distribusi Hipergeometrik

Eksperimen hipergeometrik: dalam populasi berukuran N sebanyak k dinamakasukses sedangkan sisanya N − k dinamakan gagal, sampel berukuran n diambil dari N benda, Cara pengambilan sampel tanpa pengembalian.

Contoh :

Pendekatan Poisson untuk Binomial :

• X ~ Binomial(n, p)

• Bila n besar dan n kecil,

– Binomial(n, p) → Poisson(λ), dengan λ = np

Vidio percobaan probabilitas dan statistik, simakk ya gaissss....

Sekian gaisss semoga bermanfaat J

Korelasi dan Regresi Linier Sederhana

Haii.... gaissss jumpa lagi... lagi, lagi sama saya....

Sedikit saya akan sharing tentang korelasi dan regulasi linier sederhana ....

Yukkk simak ya gaissss.....

Korelasi itu apa sih dan contohnya seperti apa ??

Korelasi sederhana

merupakan suatu teknik statistik yang digunakan untuk mengukur kekuatan hubungan dua variabel dan juga untuk dapat mengetahui bentuk hubungan antara dua variabel tersebut dengan hasil yang sifatnya kuantitatif.

jenis-jenis korelasi yang dapat terjadi antara dua variable yaitu :

1.    Korelasi Positif adalah korelasi dua variabel, apabila variabel independen (X) meningkat atau turun maka variabel dependen (Y) cenderung untuk meningkat atau turun.

2.   Korelasi Negatif adalah korelasi dua variabel, apabila variabel independen (X) meningkat atau turun maka variabel dependen (Y) cenderung untuk turun atau meningkat.

3.   Tidak ada Korelasi terjadi apabila kedua variabel X dan Y tidak menunjukan adanya hubungan.

4.   Korelasi Sempurna adalah korelasi dari dua variabel yang benar-benar terjadi.

Rumus Koefisien Korelasi :

Interval yang menyatakan keeratan hubungan antar variabel yaitu :

Koefisien Determinasi

Untuk mengukur persentase variabel Y yang dapat dijelaskan oleh variabel independen (X). Nilai koefisien determinasi sebesar kuadrat dari koefisien korelasi.

Regresi Linier Sederhana

Merupakan alat statistik yang dipergunakan untuk mengetahui pengaruh antara satu atau beberapa variabel terhadap satu buah variabel. Variabel yang mempengaruhi sering disebut variabel bebas, variabel independen atau variabel penjelas.

Persamaan regresi sederhana secara umum dituliskan sebagai berikut :

Y = Variabel dependen

X = Variabel independen

a = Konstanta

b = Koefisien regresi

dengan

Kesalahan Baku Estimasi

Kesalahan baku atau selisih taksir standar regresi adalah nilai menyatakan seberapa jauh menyimpangnya nilai regresi tersebut terhadap nilai sebenarnya.

Rumus Kesalahan baku estimasi:

S_X,Y = Kesalahan baku

Y = Variabel dependen

_t = Persamaan regresi

n = banyaknya sampel

Contoh 1.

Pak Budiman, manajer pemasaran PT.ABC memiliki data harga jual dengan volume penjualan produknya selama 10 bulan, dan pak Budiman ingin mengamati hubungan, persentase variabel Y yang dapat dijelaskan oleh variabel X, pengaruh dan kesalahan baku yang terjadi antara dua variabel tersebut ?

Volume penjualan dan harga jual produk PT.ABC dinyatakan dalam Tabel 1.

Penyelesaian:

Pada contoh 1, yang ditanyakan adalah:

Kasus 1. Korelasi (hubungan antara volume penjualan dengan harga jual)

Kasus 2. Persentase variabel Y yang dapat dijelaskan oleh X (Koefisien determinasi)

Kasus 3. Regresi (pengaruh) variabel independen terhadap variabel dependen Kasus

Kasus 4. Kesalahan baku estimasi

Jadi, terdapat 4 kasus yang harus diselesaikan dalam contoh 1. Sebelum menyelesaikan kasus-kasus tersebut, kita harus menentukan siapa yang menjadi variable X dan variabel Y. Dengan mengingat kembali bahwa X adalah variabel independen dan Y adalah variabel dependen. X adalah variabel yang mempengaruhi . Sehingga dapat ditentukan bahwa X adalah harga jual Y dan adalah volume penjualannya.

Setelah ditentukan siapa yang menjadi variabel X dan Y, langkah selanjutnya adalah menghitung nilai dari XY, X² dan Y² . Perhitungan akan lebih mudah jika disajikan dalam bentuk Tabel 2.

Kasus 1. HUBUNGAN ANTARA VOLUME PENJUALAN DAN HARGA JUAL

Untuk melihat hubungan antara X dan Y maka dihitung nilai dari koefisien korelasi r dengan menggunakan rumus yang sudah diberikan dan melihat nilai-nilai pada Tabel 2. Setelah semua data diinput, diperoleh nilai dari koefisien korelasi sebagai berikut.

Koefisien korelasi sebesar -0,87 menunjukan hubungan linier negatif yang kuat artinya bila harga naik maka volume penjualan akan turun.

Kasus 2. KOEFISIEN DETERMINASI

Persentase variabel Y yang dapat dijelaskan variabel X, dengan menghitung koefisien determinasi yaitu dengan mengkuadratkan koefisien korelasi

(-0,87)² = 0,7569

Artinya kemampuan harga jual barang dalam menjelaskan varians dari volume penjualan adalah sebesar 75,69%. Berarti terdapat 24,31% (100% - 75,69%) varians volume penjualan yang dijelaskan oleh faktor lain, misalnya kualitas barang.

Kasus 3. PENGARUH HARGA JUAL TERHADAP VOLUME PENJUALAN

Untuk mengetahui pengaruh harga jual terhadap volume penjualan (pengaruh X terhadap Y) maka harus dilakukan pembuatan model regresi,  . Sehingga terlebih dahulu harus diitung nilai dari a dan b dengan menggunakan rumus yang sudah dijelaskan.

Setelah nilai a dan b diperoleh maka disubstitusikan pada model regresinya, sehingga diperoleh:

Interprestasi dari model regresi.

Nilai b artinya jika harga naik 1,00 (Rp.1000,00) maka volume penjualan akan turun sebesar 14,54 unit, begitu juga sebaliknya. Jika harga turun sebesar 1 (Rp. 1000,00) maka volume penjualan naik sebesar 14,54 unit. Hal ini sesuai dengan analisis mengenai korelasi antara harga jual dan volume penjualan, yang menyatakan bahwa jika harga jual naik maka volume penjualan akan turun.

Kasus 4. KESALAHAN BAKU ESTIMASI

Selanjutnya, dilakukan perhitugan mengenai kesalahan baku estimasi . Sebelum data dimasukkan pada rumus, baiknya dilakukan perhitungan dengan menggunakan Tabel 3 untuk mempermudah perhitungan kesalahan baku estimasinya.

Setelah tabel dibuat, selanjutnya dimasukkan ke dalam rumus kesalahan baku estimasi yaitu:

Nilai dari kesalahan baku estimasinya sebesar 2,73. Artinya jauhnya penyimpangan nilai regresi terhadap nilai sebenarnya adalah sebesar 2,73.

Pengujian Hipotesis

Pengujian hipotesis dilakukan jika terdapat seseorang yang mempunyai pendapat atau argumen dan ingin dibuktikan kebenarannya. prosedur pengujian hipotesis tentang korelasi dan regresi linier berganda, dapat diilustrasikan menggunakan skema berikut :

Pengujian Hipotesis Tentang Koefisien Korelasi

Perumusan hipotesis yang digunakan untuk korelasi adalah sebagai berikut :

Langkah-langkah Pengujian Hipotesis :

1.    Merumuskan bentuk hipotesis :

2.   Menentukan nilai kesalahan = α, setelah α diketahui kemudian mencari t_α (jika satu arah) atau t _α/2 (jika dua arah) dari Tabel t (Lampiran 1) dengan df = n - 2.

df = derajat kebebasan.

3.   Menghitung nilai dari t hitung dengan rumus:

t_h = nilai t ℎitung

r = koefisien korelasi

n = jumlah sampel

4.   Keputusan

Kriteria keputusan dalam pengujian hipotesis korelasi adalah sebagai berikut :

Pengujian Hipotesis Tentang Regresi

Perumusan hipotesis yang digunakan untuk regresi adalah sebagai berikut :

Langkah-langkah Pengujian Hipotesis :

1.    Merumuskan bentuk hipotesis :

Ho : B = 0 Ha : B < 0 Pengujian satu arah

Ha : B > 0 Pengujian satu arah

Ha : B ≠ 0 Pengujian dua arah

2.   Menentukan nilai kesalahan = α, setelah α diketahui kemudian mencari t_α (jika satu arah) atau t _α/2 (jika dua arah) dari Tabel t (Lampiran 1) dengan df = n - 2.

df = derajat kebebasan.

3.   Menghitung nilai dari t hitung dengan rumus:

S_b= Kesalahan baku

S_Y,X = Kesalahan baku estimasi

4.   Keputusan

Kriteria keputusan dalam pengujian hipotesis korelasi adalah sebagai berikut :

CONTOH 2

Seseorang berpendapat bahwa ada hubungan dan pengaruh yang positif antara besarnya upah mingguan (puluhan ribuan) dengan pengeluaran konsumsi (puluhan ribuan). Untuk itu diambil sampel  5 orang karyawan sehingga diperoleh hasil sebagai berikut :

Ujilah pendapat tersebut dengan α = 5%

Penyelesaian:

Pada contoh 2, kita harus membuktikan bahwa argumen dari seseorang itu benar. Yaitu dengan menggunakan pengujian hipotesis. Pengujian hipotesis yang akan dianalisis meliputi:

Kasus 1. Pengujian hipotesis tentang korelasi.

Kasus 2. Pengujian hipotesis tentang regresi.

Jadi, terdapat 2 kasus yang harus diselesaikan dalam contoh 1. Sebelum menyelesaikan kasus-kasus tersebut, kita harus menentukan siapa yang menjadi variabel X dan variabel Y . Dengan mengingat kembali bahwa X adalah variabel independen dan Y adalah variabel dependen. X adalah variabel yang mempengaruhi Y . Sehingga dapat ditentukan bahwa X adalah upah mingguan dan Y adalah pengeluaran konsumsi.

Selanjutnya dihitung data-data dan dicantumkan dalam Tabel 4.

Kasus 1. Pengujian hipotesis tentang korelasi

1.    Perumusan Hipotesis

Dari contoh 2, dapat diketahui bahwa argumen dari seseorang itu adalah ada hubungan yang positif antara besarnya upah mingguan dengan pengeluaran konsumsi. Sehingga untuk hipotesis alternatif yang digunakan adalah Ha : p > 0 (X dan Y mempunyai hubungan positif)

Berdasarkan informasi tersebut, kita dapat merumuskan hipotesisnya sebagai berikut.

2.   Dari contoh 2 diketahui taraf nyata yang ditentukan adalah α = 5% = 0,05. Selanjutnya akan ditentukan nilai dari t _tabel dengan menggunakan tabel t pada Lampiran 1 dengan derajat kebebasannya adalah n – 2 = 5 – 2 = 3 . Sehingga diperoleh:

3.   Untuk menghitung nilai ℎ terlebih dahulu dihitung nilai dari koefisien korelasi. Diperoleh nilai sebagai beriku :

Selanjutnya dihitung nilai dari t_ℎ dengan mensubstitusikan semua nilai yang sudah diperoleh. Sehingga

4.   Keputusan

Dari perhitungan pada poin 2 dan 3 diperoleh bahwa nlai dari t _tabel = 2,35 dan nilai dari t_ℎ = 19, 382. Berdasarkan kriteria pengujian hipotesis diambil keputusan bahwa H₀ ditolak karena t_ℎ > t_a.

Artinya ada hubungan yang positif antara tingkat upah dengan pengeluaran konsumsi dengan probabilitas penarikan keputusan bernilai benar sebesar 95%.

Kasus 2. Pengujian hipotesis tentang regresi

1.    Dari contoh 2, dapat diketahui bahwa argumen dari seseorang itu adalah ada pengaruh yang positif antara besarnya upah mingguan dengan pengeluaran konsumsi. Sehingga untuk hipotesis alternatif yang digunakan adalah Ha : B > 0 (Ada pengaruh positif X terhadap Y). Berdasarkan informasi tersebut, kita dapat merumuskan hipotesisnya sebagai berikut :

 2.   Dari contoh 2 diketahui taraf nyata yang ditentukan adalah α = 5% = 0,05. Selanjutnya akan ditentukan nilai dari t _tabel dengan menggunakan tabel t pada Lampiran 1 dengan derajat kebebasannya adalah n – 2 = 5 – 2 = 3 . Sehingga diperoleh:

3.   Untuk menghitung nilai t_ℎ terlebih dahulu dihitung nilai dari dan . Diperoleh nilainya sebagai berikut :

Sehingga diperoleh model regresinya sebagai berikut :

Selanjutnya akan dihitung nilai kesalahan baku estimasi. Dengan memasukkan semua data yang ada pada Tabel 5 untuk mempermudah perhitungan.

Semua data yang diperoleh disubstitusikan ke rumus kesalahan baku estimasi, sehingga diperoleh:

Kemudian dilanjutkan dengan perhitungan dari (X – X)² yang disajikan dalam Tabel 6.

Setelah semua nilai diketahui, maka nilai-nilai tersebut disubstitusikan ke rumus , sehingga diperoleh:

Kemudian dilanjutkan menghitung untuk nilai t_ℎ, yaitu:

4.   Keputusan

Dari perhitungan pada poin 2 dan 3 diperoleh bahwa nlai dari t _tabel = 2,35 dan nilai dari t_ℎ = 18,609. Berdasarkan kriteria pengujian hipotesis diambil keputusan bahwa H₀ ditolak karena tℎ > ta .

Artinya ada hubungan yang positif antara tingkat upah dengan pengeluaran konsumsi dengan probabilitas penarikan keputusan bernilai benar sebesar 95%.

Sekian ya Gaissss... semoga bermanfaat J